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数学不等式问题

联考资讯 | 2018年06月30日 18:47 | 文章来源：都学课堂

在历年管理类联考中，数学部分涉及到不等式的内容每年大概有12分左右。以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，并且与函数、数列、解析几何、概率、实际问题等知识点相结合综合命题。其使用的数学思想和解题方法虽然有很多种，但都存在解题规律和技巧，所以需要大家在平时地学习过程中掌握一定的做题方法，来解决考试中我们遇到的问题。

一．与不等式有关的数学思想

第一，分类讨论思想。分类讨论思想是将数学对象分为不同的类别，再对划分的每一类别分别进行研究和求解的一种方法，它体现了一种化整为零、和零为整的数学思想与归类整理的解题方法，但是要注意分类讨论的标准一旦确定，便不可轻易更改，以保证整体知识结构的严密性；第二，数形结合思想。数形结合思想其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体，同时也体现了对所学知识的灵活应用；第三，函数与方程思想。函数与方程思想是在我们求解数学问题时，通过构造与之相关的函数和方程，来求解其中的问题。例如，将不等式看做函数、方程，能更为合理的分析出不等式的单调性。第四，转化与化归思想。转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础之上，展开丰富的联想，把未知问题转化到在已有的知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。当我们掌握转化思想后，能实现各个转换。比如：利用转化与化归思想，可以将多元方程进行转化为一元方程，也可以对高次方程进行转换，降为低次，便与求解。

二．与不等式有关的数学方法

1、比较法

比较法是对两个实数进行大小比较，对其作差或者作商，为大小比较的主要方法，当然有时我们也采用特值法进行比较。作差法的一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论。关键是②变形，常采用合理分组、配方、因式分解、分母（分子）有理化等方法把差式转变成积式或者完全平方式。当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差；作商法的一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论。特值法，若是问题求解题，可以用特值法比较大小，若是条件充分性判断题，可以先用特值法探究思路，再用作差或作商法判断。

2、均值不等式

$\text{若}a\gt0,b\gt0,\text{则}a+b\geqslant2\sqrt{ab}\text{（当且仅当“a=b”时，取“=”）}$

均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围。如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解。利用均值不等式要从整体上进行把握和理解，对于不等式满足均值不等式条件的可以通过“变形”来转化，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可以乘以一个数或者加上一个数，“1”的代换等技巧。同时在运用基本不等式求函数最值时，应注意的三个条件：一正二定三相等。①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③函数的解析式中，含变量的各项均相等时，取得最值。

3、换元法

换元法在对不等式进行证明的时候，需要根据不等式的变量，对其合理替换，保证能为不等式证明提供更为有效的方法。一般情况下，经常使用的换元手段为代数换元法。

$\text{【例】（2015年20题）已知}M=(a_1+a_2+\cdots+a_{n-1})(a_2+a_3+\cdots+a_n),N=(a_1+a_2+\cdots+a_n)(a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}),\text{则}M\gt N.$ $(1)a_1\gt0.$ $(2)a_1a_n\gt0.$ $\text{【解析】此题很显然用常规解法将会很复杂，所以采用整体换元的方法来解，设}$ $a_2+a_3+\cdots+a_{n-1}=t,\text{那么题干为}M=(a_1+t)(t+a_n),N=(a_1+t+a_n)t,\text{则}M\gt N\Leftrightarrow(a_1+t)(t+a_n)\gt(a_1+t+a_n)t\Leftrightarrow a_1a_n\gt0,\text{条件（2）充分}.$